思维训练：在9×9棋盘上放置8个皇后

在西洋棋中，皇后是最具威胁性的棋子之一。每个皇后可以攻击横向、纵向和对角线上的所有棋子。在一个9×9的棋盘上放置8个皇后，需要解决的问题是如何在不互相攻击的情况下将它们放置在棋盘上。

问题分析

在解决这个问题之前，我们需要了解一个前提：任何两个皇后都不能在同一行、同一列或同一对角线上。因此，在放置每个皇后时，我们需要确保它们不会互相攻击。

接下来，我们考虑一下如何利用搜索算法来解决这个问题。搜索算法的基本思路是将问题分解为子问题，并逐个解决这些子问题。在这个问题中，我们可以一行一行地放置皇后，确保当前行的皇后不会攻击已经放置的皇后。如果不能在当前行放置皇后，我们就需要回溯到前一行，向前移动一个皇后的位置。

当我们找到一个满足条件的皇后放置方案时，就可以结束搜索过程，输出这个方案。

算法实现

我们可以使用递归算法来实现皇后问题的求解。具体的实现方式如下：

从第一行开始，逐行放置皇后，直到最后一行。

对于当前行，分别尝试在每列放置皇后，并检查是否与之前的皇后互相攻击。

如果存在一个位置可以放置皇后而不会互相攻击，则将皇后放置在该位置，并进入下一行。

如果当前行没有位置可以放置皇后，则回溯到上一行，并向前移动皇后的位置。

重复步骤2-4，直到找到一个满足条件的皇后放置方案。

实现代码如下：

```

#include

#include

using namespace std;

const int N = 9;

int row[N] = {0};

int main_dia[N * 2] = {0};

int anti_dia[N * 2] = {0};

vector

void search(int depth, vector& path)

{

if (depth == N)

{

res.push_back(path);

return;

}

int i = depth;

for (int j = 0; j < N; j++)

{

if (!row[j] && !main_dia[i + j] && !anti_dia[i - j + N])

{

path.push_back(j);

row[j] = main_dia[i + j] = anti_dia[i - j + N] = 1;

search(depth + 1, path);

row[j] = main_dia[i + j] = anti_dia[i - j + N] = 0;

path.pop_back();

}

}

}

int main()

{

vector path;

search(0, path);

for (auto& r : res)

{

for (auto& p : r)

{

cout << p+1 << " ";

}

cout << endl;

}

return 0;

}

```

在这个实现中，我们使用了三个数组来记录当前棋盘的状态。其中，row[i]表示第i列是否已经放置了皇后，main_dia[i+j]表示主对角线上(i,j)的位置是否已经放置了皇后，anti_dia[i-j+N]表示副对角线上(i,j)的位置是否已经放置了皇后。

在搜索过程中，我们维护了一个path数组，记录已经放置了哪些列的皇后。当找到一个满足条件的解时，就将该方案存入res数组中。最后，输出res数组中存储的所有解。

总结

通过这个问题的解决，我们可以锻炼自己的思考能力和代码实现能力。对于这类使用搜索算法求解的问题，在解题时需要仔细分析问题，将其拆分为更简单的子问题，然后逐一解决这些子问题。

除了使用递归算法，我们还可以使用迭代算法、动态规划等方法来解决这个问题。各种方法的复杂度和适用范围不同，需要根据具体的情况进行选择。